原文见：http://www.math.zju.edu.cn/ligangliu/Resources/Graphics/math_for_graphics_Turk_CN.htm

数学在计算机图形学中的应用

“学习计算机图形学需要多少的数学？”这是初学者最经常问的问题。狭义的计算机图形学指的是传统的三维建模，绘制，动画等，而广义的计算机图形学还包括计算机图像处理，视频处理，计算机视觉和机器学习等领域。

答案取决于你想在计算机图形学领域钻研多深：

l         如果仅仅使用周围唾手可得的图形软件，如Photoshop, 3D Studio Max, Maya, AutoCAD等，你不需要知道多少数学知识；通过掌握简单的概念和阅读使用教程你就能使用这些软件的基本功能；但是如果你想精通这些软件，你还是需要学习计算机图形学的一些入门知识的；

l         如果想学习计算机图形学的入门知识，你至少需要掌握代数，三角学和线性代数的一些基本知识；这也是要成为图形软件高手所必需掌握的；

l         如果想成为一名计算机图形学的研究工作者，那么对数学的学习将是“活到老，学到老”。重要的是，从以前看似枯燥的数学到看到它的实际应用的过程中，你会更容易享受数学的美妙。在你不断进行计算机图形学的研究的过程中，你会感觉到你的数学知识越来越不够用，从而真正理解“数学不是没有用，而是不够用！”。

如果你并不特别喜欢数学，是否仍有在计算机图形学领域工作的机会？是的，计算机图形学的确有一些方面不需要考虑太多的数学问题。你不应该因为数学成绩不好 而放弃它，如果你对计算机图形学具有强烈兴趣和好奇心的话，而且你还特别喜欢和擅长计算机编程的话。不过，如果学习了更多的数学知识，那么你将在研究课题 上有更多的选择余地。如果你要做很好的计算机图形学的研究工作，则建议你还是多学习些数学。

对于在计算机图形学中哪些数学才是重要的？这个问题是没有明确的答案的。这领域里不同的方面要求掌握不同的数学知识，也许兴趣将会决定了你的方向。那些基本的数学知识和分析能力是最重要的，而其他的数学则是根据你所从事的方向相关。

下面将介绍我们认为对于计算机图形学有用的数学。别以为想成为一名计算机图形学的研究者就必须精通各门数学！在大学里，你所学的那些数学看起来都很抽象， 枯燥无味，这是因为你并不知道它们的用处，甚至连讲课的老师也不知道，而你们的目的只是记住那些定理和公式，考个好分数。与大学学习数学不一样的是，你在 计算机图形学的学习和研究过程中会感受到数学的用处和美妙，这时你学习数学的目的将更加明确，兴趣将更加浓厚，学习方法将更加有效。因为你是在使用数学的过程中在学习数学！想想看你是如何学会中文说话的？为了对用于计算机图形学的数学有一个全面的看法，这里特地列出了很多方面。注意，不是这里提到的每个方面你都必须熟悉，许多研究工作者从不需要考虑下面提到的某些数学知识，成功的研究者总是将某一方面的数学知识和数学工具用到极致！

最后，虽然读了这篇文章后，你应该会对数学在计算机图形学中的应用有所了解，不过这也是一家之言。也许你应该阅读更多的此类文章，或者至少从其他从事计算机图形学工作的人那里了解不同的学习重点。

初等代数和三角学

对于计算机图形学的初学者来说，高中的代数和三角学可能是最重要的数学。日复一日，我从简单的方程解出一个或更多的根。我时常还要解决类似求一些几何图形边长的简单三角学问题。代数和三角学是计算机图形学的最基础的知识。

那么高中的几何学怎么样呢？可能让人惊讶，不过在多数计算机图形学里，高中的几何学并不经常被用到。原因是许多学校教的几何学实际上是如何建立数学证明的 课程。虽然证明题对提高智力显然是有效的，但对于计算机图形学来说，那些与几何课有关的定理和证明并不常被用到。如果你毕业于数学相关领域（包括计算机图 形学），就会发现虽然你在证明定理，不过这对开始学习图形学不是必要的。

如果精通代数和三角学，就可以开始读一本计算机图形学的入门书了。下一个重要的用于计算机图形学的数学——线性代数，多数此类书籍至少包含了一个对线性代数的简要介绍。

推荐的参考书:

Computer Graphics: Principles and Practice

James Foley, Andries van Dam, Steven Feiner, John Hughes

Addison-Wesley

线性代数

线性代数的思想贯穿于计算机图形学。事实上，只要牵涉到几何数值表示法，就常常抽象出例如x,y,z坐标之类的数值，我们称之为矢量。计算机图形学自始至终离不开矢量和矩阵。用矢量和矩阵来描述旋转，平移，或者缩放是再好不过了。高中和大学都有线性代数的课程。只要想在计算机图形学领域工作，就应该打下坚实的线性代数基础。我刚才提到，许多图形学的书都有关于线性代数的简要介绍——足够教给你图形学的第一门课。

数学分析（微积分学）

微积分学是高级计算机图形学的重要成分。如果打算学习研究图形学，我强烈建议你应该对微积分学有初步认识。理由不仅仅是微积分学是一种很有用的工具，还有 许多研究者用微积分学的术语来描述他们的问题和解决办法。另外，在许多重要的数学领域，微积分学被作为进一步学习的前提。学习了基本代数之后，微积分学又 是一种能为你打开多数计算机图形学与后继的数学学习之门的课程。

微分几何

微分几何学研究描述和控制光滑曲线，曲面的方程。如果你要计算出经过某个远离曲面的点并垂直于曲面的矢量（法向矢量）就会用到微分几何学。让一辆汽车以特 定速度在曲线上行驶也牵涉到微分几何学。有一种通用的绘制光滑曲面的图形学技术，叫做“凹凸帖图”，这个技术用到了微分几何学。另外，要研究曲面的一些几 何性质，如曲率、可展性、测地性质等，需要较多的微分几何知识。如果要着手于用曲线和曲面来创造形体（在图形学里称之为建模），你至少应该学习微分几何学 的基础。

数值方法（计算方法）

几乎任何时候，我们在计算机里用近似值代替精确值来表示和操作数值，所以计算过程总是会有误差。而且对于给定的数值问题，常常有多种解决的方法，一些方法会更块，更精确或者对内存的需求更少。数值方法研究的对象包括“计算方法”和“科学计算”等等。这是一个很广阔的领域，而且我将提及的其他几门数学其实是数值方法的一些分支。这些分支包括抽样法理论，矩阵方程组，数值微分方程组和最优化。

推荐的参考书:

Numerical Recipes in C++: The Art of Scientific Computing

William Press, Saul Teukolsky, William Vetterling and Brian Flannery

Cambridge University Press

抽样法理论和信号处理

在计算机图形学里我们反复使用储存在正规二维数组里的数字集合来表示一些对象，例如图片和曲面。这时，我们就要用抽样法来表示这些对象。如果要控制这些对 象的品质，抽样法理论就变得尤为重要。抽样法应用于图形学的常见例子是当物体被绘制在屏幕上时，它的轮廓呈现锯齿状的边缘。这锯齿状的边缘（被认为是“混淆”现象）是非常让人分散注意力的，用抽样法中著名的技术例如回旋，傅立叶变换，空间和频率的函数表示就能把这个现象减少到最小。这些思想在图像和音频处理领域是同样重要的。

推荐的参考书:

The Fourier Transform and Its Applications

Ronald N. Bracewell

McGraw Hill

矩阵计算

计算机图形学的许多问题要用到矩阵方程组的数值解法。一些涉及矩阵的问题包括：找出最好的位置与方向以使对象们互相匹配（最小二乘法），创建一个覆盖所给 点集的曲面，并使皱折程度最小（薄板样条算法），还有材质模拟，例如水和衣服等。在图形学里矩阵表述相当流行，因此在用于图形学的数学中我对矩阵方程组的 评价是很高的。

推荐的参考书:

Matrix Computations

Gene Golub and Charles Van Loan

Johns Hopkins University Press

物理学（物理模拟）

物理学显然不是数学的分支，它是自成一家的学科。但是在计算机图形学的某些领域，物理学和数学是紧密联系的。在图形学里，牵涉物理学的问题包括光与物体的 表面是怎样互相影响的，人与动物的移动方式，水与空气的流动。为了模拟这些自然现象，物理学的知识是必不可少的。这和解微分方程紧密联系，我将会在下一节 提到微分方程。

微分方程的数值解法（有限元方法）

我相信对于计算机图形学来说，解微分方程的技巧是非常重要的。像我们刚才讨论的，计算机图形学致力于模拟源于真实世界的物理系统。波浪是怎样在水里形成 的，动物是怎样在地面上行走的，这就是两个模拟物理系统的例子。模拟物理系统的问题经常就是怎样解微分方程的数值解。请注意，微分方程的数值解法与微分方 程的符号解法是有很大差异的。符号解法求出没有误差的解，而且时常只用于一些非常简单的方程。有时大学课程里的“微分方程”只教符号解法，不过这并不会对多数计算机图形学的问题有帮助。

在对物理系统的模拟中，我们把世界细分为许多表示成矢量的小元素。然后这些元素之间的关系就可以用矩阵来描述。虽然要处理的矩阵方程组往往没有很精确的 解，但是取而代之的是执行了一系列的计算，这些计算产生一个表示成数列的近似解。这就是微分方程的数值解法。请注意，矩阵方程的解法与微分方程数值解法的 关系是很密切的。

最优化

在计算机图形学里，我们常常为了期望的目标寻求一种合适的描述对象或者对象集的方法。例如安排灯的位置使得房间的照明看起来有种特殊的“感觉”，动画里的人物要怎样活动四肢才能实现一个特殊的动作，怎样排版才不会使页面混乱。以上这些例子可以归结为最优化问题。十年前的计算机图形学几乎没有最优化技术的文献，不过最近这个领域越来越重视最优化理论。我认为在计算机图形学里，最优化的重要性将会日益增加。

概率论与统计学

计算机图形学的许多领域都要用到概率论与统计学。当研究者涉足人类学科时，他们当然需要统计学来分析数据。图形学相关领域涉及人类学科，例如虚拟现实和人机交互(HCI)。另外，许多用计算机描绘真实世界的问题牵涉到各种未知事件的概率。两个例子：一棵成长期的树,它的树枝分杈的概率；虚拟的动物如何决定它的行走路线。最后，一些解高难度方程组的技巧用了随机数来估计方程组的解。重要的例子：蒙特卡罗方法经常用于光如何传播的问题。以上仅是一部分在计算机图形学里使用概率论和统计学的方法。

另外，在机器学习和统计学习中，需要非常多和深入的统计学知识。

拓扑学

用一句话来形容拓扑学，它研究油炸圈饼与咖啡杯为什么在本质上是相同的。答案是他们都是只有一个洞的曲面。对于计算机图形学来说，拓扑学的形式（符号表示法）是表达思想的简便方法，常用于分析一些曲面的性质，在形状分析、形状匹配和搜索中得到应用。

黎曼几何

黎曼几何是研究流形曲面上的微积分与微分几何。不同与三维欧氏空间，它研究的曲面是在流形曲面上，其中用到不同的度量。这部分数学知识有点抽象，但是同样有效地被用到计算机图形学中。如共形几何理论就被发展起来在计算机图形学中得到广泛的应用。

抽象代数

抽象代数就是研究群论，环论和域的代数学。相对于线性代数，内容也比较抽象。在计算机图形学上也时有用到。

计算几何

计算几何学研究如何用计算机高效地表示与操作几何体。典型问题如，碰撞检测，把多边形分解为三角形，找出最靠近某个位置的点，这个学科包括了运算法则，数据结构和数学。图形学的研究者，只要涉足创建形体（建模），就要大量用到计算几何学。

推荐的参考书: 
Computational Geometry in C 
Joseph O'Rourke 
Cambridge University Press 

　

Computational Geometry: An Introduction 
Franco Preparata and Michael Shamos 
Springer-Verlag 

　

其他几何学

一些其他的几何学，如《仿射几何》、《射影几何》在计算机图形学的某些问题上用得比较多，对工程具有较大的促进应用。

总结：数学应用和数学理论

对于图形学来说，以上提到的许多数学学科都有个共同点：比起这些数学的理论价值，我们更倾向于发掘它们的应用价值。不要惊讶。计算机图形学的许多问题和物理学者与工程师们研究的问题是紧密联系的，并且物理学者与工程师们使用的数学工具正是计算机图形学研究者们使用的。多数研究纯数学理论的学科从不被用于计算机图形学。不过这不是绝对的。请注意这些特例：分子生物学正利用节理论来研究DNA分子动力学，亚原子物理学用到了抽象群论。也许有一天，纯数学理论也能推动计算机图形学的发展，谁知道呢？

事实上，文章中所提到一些数学分支，按照我国的教育体制，在数学系本科的学生（或者硕士研究生阶段的理工科学生）基本都能接触到。但是大学所学习的数学比较偏重于证明以构建完备的数学理论框架，而不太注重实际的使用，现在的大学教师授课的方式也是这样。

我认为，学习数学最好的方式就是使用它，使用它越多，你就觉得它越有用，越有趣，学得就越好，也越快，越扎实。当然，很少有人能精通全部的知识，对于计算 机图形学的学习和实践，应当采取掌握较为宽广的数学知识基础，在需要的时候，对相关的数学知识再进行深入的学习和挖掘；不要因为自身数学知识的匮乏而沮 丧，更不能因此而敌视数学，保持对计算机图形学强烈的兴趣和乐观上进的学习态度是学习计算机图形学的关键。

还有一点需要指出的是，在学习计算机图形学的过程中，你会发现各个方面的数学知识都会被用到，因此你掌握的数学知识会比较全面，也知道如何在实际中应用。 这可能是应用数学在所有学科得到最好的体现。相反，一些做纯理论的数学工作者，掌握的数学知识就是他们所研究的一块，而对其他的数学知识掌握得就不够好， 他们做得比较深入。当然，做应用数学和理论数学都有值得敬仰的地方，一个侧重在实际应用，而另一个侧重在理论深度，但要做好都不是很容易。数学说到底还是 要学老用的。相对来讲，做计算机图形学能看到学到的数学在实际中所用了，“所用即所学”。试想一下，当你能看到自己做的美妙的东西被别人看到且被敬仰的时候，你的成就感一定会很大！

最后说一点的就是，学习计算机图形学和从事计算机图形学的研究，除了数学基础外，还需要较强的计算机编程能力，你务必要掌握和熟练一门编程语言，一般建议C/C++，因为你要实现出你的想法，你必须编程去实现出来，做出漂亮的结果。编程也是很有趣的，只要你有兴趣，提高是非常快的！当然，这里我不阐述如何提高编程的能力和水平的方法。“数学”和“编程”，两手都要抓，两手都要硬！提醒大家一点的是，如果你对编程兴趣不大，或者就不愿编程，那你就不适合选择计算机图形学，可能更适合选择其他方向，比如统计学或理论数学。

注：本文由Greg Turk. “Mathematics for Computer Graphics, August 1997.” 及网上的中文翻译整理扩充而得。

看了有一阵子时间了，不过今天翻出来还是很有意思，有感于纷纷报考发改委的莘莘学子，特再转此文。

原文地址如下：http://blog.sina.com.cn/s/blog_46e7ba410100fuwa.html，呵呵，感谢大眼的毒品。

[本文有毒不准推荐]一个大神转世般贴子在网上流传：发改委牛逼大了，又用油价打下一架飞机。

今年，发改委宣布四次油料提价，每次都是当天就有国外飞机坠毁。昨天晚上，发改委再次宣布柴油每吨提价428，结果晚上肯尼亚果然又掉飞机了。。。。。。

新华网内罗毕11月9日电(记者 赵卓昀)一架小型货机9日在肯尼亚首都内罗毕一个机场坠毁，造成机上两名驾驶员死亡。

据机场官员说，这架飞机当地时间上午6时30分左右从位于内罗毕南部的威尔逊机场起飞，约两小时后，驾驶员报告说发现机械故障，因此不得不返航。但飞机在试图迫降时撞上机场周围的隔离网，随后爆炸起火。两名驾驶员一人在被送往医院途中死亡，另一人在医院伤重不治身亡。

目前，失事飞机的黑匣子已经找到，当地民航部门已对此次事故展开调查。这是过去4个月来威尔逊机场发生的第四起航空事故。

附：发改委打飞机战果：

2009年3月25日，发改委决定将汽、柴油价格每吨分别提高290元和180元；当天，美国空军一架正在执行测试飞行F-22“猛禽”战机加州爱德华兹空军基地以北六英里的地方坠毁（F-22战斗机每架成本1.4亿美元）。

2009年6月1日：发改委发布调价通知，上涨油价。当天14时,一架载有228人的法航空客A330起飞不久后与地面失去联系。机上228人全部遇难，其中包括9名中国人。

2009年6月30日：发改委再次发布调价通知，上涨油价。当天凌晨，一架载有154人的空中客车客机在从也门前往科摩罗的途中坠毁，机上人员仅一人幸存。

2009年7月15日：发改委就成品油价格问题发表说明，称价格未调整到位。当日，伊朗里海航空公司的一架客机在该国西北部城市加兹温附近的村庄坠毁，机上153名乘客和15名机组人员全灭。

2009年9月2日：发改委油价上调，当天，印度南部安得拉邦的首席部长雷迪9月2日上午8时35分许，从安得拉邦的海得拉巴乘坐直升机前往南部的奇图尔准备参加活动。然而，直升机起飞约一个小时后在讷勒默拉森林上空坠机机上人员全灭。

大家进一步详细分析，加上我的一点补充，就是：

1、2009年3月25日 汽、柴油价格每吨分别提高290元和180元，调高不多，只伤飞机。

2、2009年6月1日汽、柴油价格每吨均提高400元，提价较多，所以当天,一架载有228人的法航空客A330起飞不久后与地面失去联系。机上228人全部遇难，其中包括9名中国人。

3、2009年6月30日汽、柴油价格每吨均提价高达600元，提价较多，所以154人的空中客车途中坠毁，机上人员仅一人幸存。

4、2009年7月15日发改委就成品油价格问题发表说明，称价格未调整到位，因为这是理论上的建树，所以伊朗客机上的153名乘客和15名机组人员全部被灭。

5、2009年7月28日 汽、柴油价格每吨降低220元，降的较多，竟然平安无事。

6、2009年9月2日 汽、柴油价格每吨上调300元，涨价不多，伤亡损失较小，仅印度一个部长和直升机组人员灭亡。

7、2009年9月29日汽、柴油价格每吨均下调190元。降的不多不少，只伤飞机：当天，据德国《图片报》9月29日报道，近日，一架载着80名乘客、飞往科索沃首府普里什蒂纳的波音737-700客机，刚刚从杜塞尔多夫机场起飞，就遭到一群欧掠鸟的“袭击……

8、未来……，……

综上所述，综合围观群众和我的一些感想，接龙如下：

一、发改委真是打得一手好飞机。

二、我国空军昨日突然推迟60周年庆飞行表演时间。表面上是天气原因，其实是发改委要打飞机怕误伤友军，特意通知延期。

三、首都及北方广大机场滞留无数飞机也不是因为雪暴天气，雪是故意降的，掩饰发改委这个秘密武器的发射，保护国货航空事业。

四、英美俄情报部门经过艰辛侦察回去向女王、奥巴马、普京报告：实是因为中国发明了一种“声控油价导弹”，这边一开发布会，那边飞机马上坠。

五、英美俄错谔之际，最新消息：发改委声称目前国内油价尚未到位，还未与国际真正接轨，相关负责人正在研究下一轮涨价，专家预估涨幅会在50%至 100%。所以紧急通知：全球80%以上的航班紧密关注中国发改委动向，酝酿下一次发改委涨价时则从北京时间零时起全部停飞；全球爱儿童协会倡导全世界儿 童从即日起停玩所有飞机玩具及类似飞机的玩具，以免发生不测；

六、经过六次涨价，宣布发改委这款神秘特种武器试验成功，以后我军不用再研发第五代战斗机了，歼十工程正式下马，直接派发改委上，由此，发改委并入二炮。不过此事还得后议，因为又有人动议干脆成立三炮，发改委直接归中央军委管，中石油中石化亦划归军工企业。

七、未来中美、中日、中印开战，全军将士不用上前线而是在营地里看电视新闻发布会，发改委同志一宣布跟国际接轨，敌人飞机扑腾扑腾往下掉。同时宣告天下，如果全世界想与中国为敌，发改委就每十分钟涨一次价，不一会儿敌机就木有了。

八、联合国有人动议，该把“FGW”这种武器列入恐怖主义序列，强烈要求销毁这一大型杀伤性武器。

九、面对国际形势，中国政府庄重承诺：不首先使用发改委！

十、朝鲜等国派出美女若干前来中国发改委取经，取精，为了向中国老大哥示好，他们前往国际游说，FGW不含铀、钴等核原料，也传统无硝化甘油，甚至不含金 属，不涉及残忍的肉搏，由于各国忌惮它，纷纷大幅减少飞机制造和营运，从而大大降低了大气污染。不仅不该制裁，而且该获得诺贝尔和平奖。由此，中国人十余 代人诺奖梦有望实现。

十一、为了保持中国特有的这一威慑力量，中国公民人人自愿油价居高不下，爱国厂家发明了烧90号汽油的自行车，烧93号发光的电灯泡，洗澡用97号汽油， 刷牙用98号汽油，桑拿推油则用0号柴油，下一步正研发的是250号纯净油，以社区居委会为单位，要求居民人人购买，本油喝了以后就算歹徒也自动和谐，忠 党爱国，而且狂射三H不停，可代表人类体力、实力、耐力极限。

十二、在更为隆重一次国庆阅兵式上，发改委作为走在方阵中最后一支队伍，虽只有两人，但赢得了全国人民的欢呼，让世界人民颤抖。好容易逮到“发改委”公开 露面的机会，国外敌对势力相机行事欲暗杀之，所以他俩并不按惯例挥手致意，也不欢呼，一边走一边在下身快速动作，不仅天上飞机扑腾掉，也有卫星残片。可敌 机来得太多，他俩也越打越疲惫，动作频率也越来越慢，好歹坚持通过观礼台，行至南池子时，倒地不起、精尽人亡。

十三、举国半旗，举国男子以打飞机姿势送别D的好战士，ZF的忠诚卫兵，人民币的坚挺平台。十里长亭相送，三亿精水尽失。帝国主义妄图进攻中国。举国男子 又开始动作，可惜未有发改委同志之神功，还造成了半数以上精壮男子在哀思会上灭绝。好处是有力推行了计划生育的执行，中国男女性别比例失调终于解决。

十四、全世界男子亦有效仿，不仅含朝鲜、古巴、利比亚，甚至波及一些英美俄愤青，其景惨不忍睹，就此在安南曼德拉等爱心人士和克林顿等古典派打飞机高手的调停下，中国与世界和解，中国卫生组织和世界卫生组织均发表温馨提示，请各位独身男士自重。

十五、在南池子牌坊附近的草坪上，长出一对珍奇的花草来，似人参，又似萝卜，或又似首乌，花开周期短，正好22个工作日，每逢油价上调便滴下甘露，众人参拜，名曰发改。

十六、请围观群众继续联想，持续接龙……有奖。

Why is my brain attacking me?

什么是数学(英文影印版.第2版)

并行计算应用及实战

当代数学精英--菲尔兹奖得主及其建树与见解(第二版)

广义哈密顿系统理论及其应用(第二版)

微分流形与黎曼几何引论（英文版.第2版修订版）

矩阵计算(英文影印版.第3版)

张量几何 第2版(英文影印版)

无约束最优化与非线性方程的数值方法(英文影印版)

图像处理与分析(变分.PDE.小波及随机方法)(英文影印版)